在平面几何中，垂心是指过三角形三个顶点的垂线的交点。这个点被称为三角形的垂心。它是三角形的一个重要的点，有很多有趣的性质。
文章源自玩技e族-https://www.playezu.com/760932.html
垂心的性质
垂心有很多性质，下面我们来一一介绍。文章源自玩技e族-https://www.playezu.com/760932.html
1. 垂心到三角形三边的距离相等
垂心到三角形任意一边的距离都相等，这个距离叫做垂线长度。例如下图中的点H是三角形ABC的垂心，垂线HD、HE和HF的长度相等。文章源自玩技e族-https://www.playezu.com/760932.html
证明如下：文章源自玩技e族-https://www.playezu.com/760932.html
因为垂心H到边BC的垂线HD垂直于BC，所以角HDC=90度。同理，我们可以得出角AHE=90度和角FBH=90度。文章源自玩技e族-https://www.playezu.com/760932.html
因此，在直角三角形HDC、HAE和HBF中，我们可以得出：文章源自玩技e族-https://www.playezu.com/760932.html
——DH=DC、EH=EA、FB=FH文章源自玩技e族-https://www.playezu.com/760932.html
因此，垂心H到三角形三边的距离相等。文章源自玩技e族-https://www.playezu.com/760932.html
2. 垂心到三角形外接圆圆心的连线与三角形的边相交于一点
三角形的外接圆是经过三角形三个顶点的圆。如下图所示，垂心H到三角形ABC外接圆的圆心O的连线HO与三角形三边分别相交于D、E和F三点。文章源自玩技e族-https://www.playezu.com/760932.html
这三点共线，因此被称为Simpson线。这个性质被称为Simpson定理。文章源自玩技e族-https://www.playezu.com/760932.html
证明如下：
我们先证明HO与边BC相交于点D。作AH的中线AI，使它交BC于点J。那么AJ=JI，因此角AIJ=角AJI。同理可得角AHE=角BHF。
又因为角BHF=角AIJ，所以四边形AHDJ是一个圆形。因此角HJD=角HAD=90度。
同理可以证明HO与边AC和AB也分别相交于E和F。因此，HO与三角形的三边都相交于Simpson线上的三点D、E和F。
3. 垂心到三角形重心的距离是中线长度的三分之一
三角形的重心是三角形三条中线的交点。如下图所示，垂心H到三角形重心G的距离等于中线DE的长度的三分之一。这个性质在解决三角形问题时非常有用。
证明如下：
作AD、BE和CF的垂线AG、BG和CG。因为垂线HA⊥BC，所以角BHC=90度。同理可以证明角AHC=90度和角AHB=90度。
作BG的中线BP，使它交线段HA于点K。那么AK=KH。又因为角AHB=角BHC=90度，所以四边形AHKB是一个圆形。因此角KAB=90度。
由于AD是BC的中线，所以BE=AD/2。同理可以得出CF=AD/2。因此，BE=CF。
因为线段AG是中线，所以AG=2HK。又因为角KAB=90度，所以三角形AGK和三角形ABK相似。因此AG/BK=2HK/AB。
将BE/AB和CF/AB都代入上式，可以得到：AG/BK=1/3。因此AG=1/3 BK，即垂心H到重心G的距离等于中线DE长度的三分之一。
总结
综上所述，垂心是三角形的一个重要点，具有许多有趣的性质。
它到三角形的三条边的距离相等，到三角形外接圆圆心的连线和三角形的边相交于同一点，到三角形重心的距离等于中线长度的三分之一等等。
这些性质在中学数学和奥林匹克数学中都是重要的概念和定理，对于解题和证明都有很大的帮助。
评论